Los números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver problemas de conteo, medición, ordenación, etcétera. Actualmente los vemos como algo ya terminado y tendemos a creer que siempre existieron así; sin embargo, en cada época, cuando se introdujo algún número nuevo o grupo de números nuevo, a menudo se suscitaban polémicas muy fuertes y estos números tardaban muchos años en ser aceptados por la comunidad en general. Tales son los casos del cero, de los números negativos, los números irracionales, etcétera.

Los primeros números que surgieron históricamente fueron los números naturales , , , , ... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más práctico considerarlo dentro de los números naturales. Denotamos por al conjunto de los números naturales, es decir,

Uno de los primeros problemas a los que nos enfrentamos al considerar únicamente a los números naturales, es que al restar dos de ellos el resultado no es siempre otro natural. Por ejemplo, en la escuela primaria nos enseñaron que "no se puede efectuar''. Lo que sucede es que la respuesta no es un número natural.

Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números enteros negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros:

Los números naturales también son llamados enteros no negativos.

Al restar cualquier par de estos números se obtiene otro entero. Los números negativos son útiles en la vida cotidiana para representar cantidades como temperaturas por debajo del punto de congelación del agua ( C), deudas monetarias y profundidades con relación al nivel del mar de zonas que están por debajo de éste, entre otras cosas.

Así como enfrentamos el problema de no poder restar si tenemos sólo números naturales, también enfrentamos el problema de no poder dividir si tenemos sólo números enteros; por ejemplo, al dividir no obtenemos un número entero, por lo que es necesario ampliar el conjunto de números.

Consideramos ahora el conjunto de los números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como cociente de dos números enteros, donde el denominador no es el cero.

Observemos que como todo número entero se puede escribir como el cociente de él mismo entre uno, , entonces todo número entero es un número racional; así,

Los números racionales son suficientemente buenos para la mayoría de las operaciones que realizamos cotidianamente; sin embargo, ya desde los pitagóricos, en el siglo V a.de C, se dieron cuenta de que con una regla y un compás se podían construir segmentos cuya longitud no se podía expresar como cociente de dos enteros. Por ejemplo, en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden , la hipotenusa mide y este número no se puede escribir en la forma con y enteros; es decir, no es un número racional.

Construcción de

Como veremos en las secciones siguientes, todos los números racionales pueden identificarse con puntos en una recta. El hecho de que, por ejemplo no sea un número racional, significa que hay un punto en la recta al que no se le ha asociado ningún número racional; de hecho, hay una infinidad de dichos puntos, por lo que es necesario inventar otros números, llamados números irracionales, para los puntos de la recta a los que no se les ha asociado ningún número racional. Es así como surgen los números reales, que son la unión de los números racionales e irracionales.

Finalmente, los números reales también presentan un problema similar al de la resta en los números naturales y la división en los números enteros; este problema consiste en que no se puede sacar raíz cuadrada de los números negativos; por ejemplo, no existe ya que no hay ningún número real tal que . Por esto, es necesario introducir más números; los números complejos, para poder, ahora sí, obtener la raíz cuadrada, o cualquier otra raíz, de todo número real, o más en general, de todo número complejo.

En las siguientes secciones estudiaremos con detenimiento las propiedades de los sistemas numéricos mencionados.