Arcadio se percató de que lo primero que tenía que hacer era discernir cuál era exactamente el problema que debía resolver. Antes que nada, cuando se presenta un problema, éste viene acompañado de un conjunto de datos que lo determinan: un número, un mapa, algo sobre lo que se trabajará para encontrar la solución. Lo anterior se denomina la entrada al problema. En segundo lugar, resolver un problema significa producir una salida que indica la solución, como por ejemplo: tomar una decisión, encontrar un camino en un mapa o calcular un número. Finalmente, no se trata de calcular cualquier número o de decidir cualquier cosa; tenemos una relación entrada/salida que nos habla del objetivo que queremos alcanzar. Esta relación nos explica cuál es el vínculo entre la salida que se debe producir, y la entrada que se recibe. Como ejemplos de problemas se pueden mencionar los siguientes:

Concepto

1. Elevar un número al cuadrado. La entrada es un número x, la salida un número y. La relación entre el número de entrada x y el de salida y es que y debe ser igual a x².
   
   
2. Encontrar la salida de un laberinto. La entrada es un laberinto que tiene marcado un lugar por donde entrar y uno por donde salir. La salida es un camino. La relación especifíca: que el camino producido debe comenzar en la entrada del laberinto, terminar en la salida y ser un camino válido del laberinto (no brincar las paredes).
   
   
3. Colorear mapas. La entrada es un mapa de países. La salida es un color para cada país. La relación especifíca: que cada país debe ser coloreado con un solo color, de forma que, si dos países tienen una frontera común, sus colores deben ser diferentes. Además, se debe usar el menor número de colores posible.

Para exponer puntualmente el problema de Arcadio, comenzamos por identificar los datos con los que trabajaremos.

Entrada:

1. Una cantidad de dinero inicial de mil pesos.
   
   
2. Un conjunto de regalos posibles, S= {pulsera, dije, aretes}. Debido a la recomendación de Diana, utilizamos el conjunto S1 = {pulsera, dije, aretes, cd, dvd}.
   
   
3. Cada regalo posible de S1 tiene un precio en pesos y un valor emocional distinto para Úrsula. La cuestión entonces consiste en procurar una adquisición óptima; elegir objetos cuyo costo sea accesible y el aprecio por parte de Úrsula sea considerable. Así, los regalos poseen un valor emocional para Úrsula que se puede expresar como un valor numérico entre 0 (no le gusta) y 10 (le encanta).

Sabías que...

Supongamos que los valores están dados en la siguiente tabla:

Tabla 1. Valores de los regalos.

Una vez decidida la entrada al problema, podemos pensar en lo que deseamos obtener como salida.

Salida:

1. Uno o más regalos para Úrsula. Es decir, un subconjunto T de S1 (o de S).
2. Quizá con lo que sobre de los mil pesos Arcadio pueda comprarse algo para él.

Arcadio debe aclarar qué opción es la más conveniente para el regalo de Úrsula: comprarle la mayor cantidad de regalos posible; evitar a toda costa comprarle algo que un ex novio le obsequió en el pasado; comprarle un solo regalo que le guste mucho; mostrarle, a través de su elección, algo acerca de su personalidad y sensibilidad; o asegurarse de que le sobre dinero para comprarse algo él mismo. Cada una de estas posibilidades implica un problema distinto. Digamos que el problema de Arcadio está dado por lo que se plantea a continuación.

Relación entrada/salida:

1. Los regalos elegidos, es decir, los del conjunto T, no deben costar más de mil pesos en total. Además, no debe existir otra elección de regalos que coincida con esta característica y que tenga un valor emocional total mayor. Es decir, los regalos elegidos deben tener el mayor valor emocional posible y costar máximo mil pesos.

Una salida posible al problema sería {aretes, cd}, ya que el costo de estos regalos es de $400 + $500 = $900 con un valor emocional de 5 + 4 = 9. Pero esta salida no resuelve el problema; hay mejores salidas, como por ejemplo, {aretes, cd, dvd}, que tampoco rebasa los mil pesos, pero que tiene un valor emocional mayor para Úrsula, de 10. El problema habrá sido resuelto una vez que Arcadio elija los regalos con mayor valor emocional, sin que rebasen los mil pesos. ¿La solución es {aretes, cd, dvd}? No, porque si cambiamos los aretes por el dije, el costo total baja a $900 y logramos una combinación de mayor valor emocional, es decir,15. Aparentemente, la opción {dije, cd, dvd} es una buena solución al problema. Pero, ¿cómo podemos estar seguros?