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Los números enteros
Suma de números enteros

Las dos operaciones principales de los números enteros son la suma y el producto. El producto también se conoce como multiplicación. Veamos primero una interpretación geométrica de la suma.

Para hallar la suma de $2$ y $5$, dibujamos una recta numérica. Colocamos el lápiz en el $2$ y nos movemos $5$ unidades hacia la derecha, con lo que llegamos al $7$.

real4.wmf

Suma de $2$ y $5$

Cuando a un número le sumamos un número positivo, entonces nos movemos hacia la derecha y cuando le sumamos un número negativo, entonces nos movemos hacia la izquierda.

Ejemplos

  1. Sumar MATH.

    Solución:

    Localizamos el $3$ y desde ahí nos movemos $7$ unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a $-4.$ Así que MATH.


    real5.wmf

    Suma de $3$ y $\left( -7\right) $

  2. Sumar MATH

    Solución:

    Localizamos a $-8$ y desde ahí nos movemos $4$ unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a $-12$. Así que MATH.


    real6.wmf

    Suma de $-8$ y $\left( -4\right) $

    Sería poco práctico tener que utilizar la recta numérica para poder sumar enteros positivos y negativos; las siguientes reglas nos permiten hacerlo de manera sencilla, usando lo aprendido en la escuela primaria.

Reglas para sumar números enteros

  • Para sumar dos números enteros con el mismo signo:

  1. Se suman los valores absolutos de los números, es decir, como si fueran positivos

  2. Se determina el signo de la suma:

    a.

    Si ambos son positivos, la suma es positiva.

    b.

    Si ambos son negativos, la suma es negativa.

Ejemplo

  • Sumar MATH.

    Solución:

    Sumamos valores absolutos de los números: $35+82=117$.

    La suma es negativa ya que ambos son negativos: MATH.

  • Para sumar dos números enteros de signo contrario:

  1. Se restan los valores absolutos de los números: el menor del mayor.

  2. El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto .

Ejemplos

  1. Sumar MATH.

    Solución:

    El valor absoluto de $-17$ es $17$, que es mayor que el de $4.$

    Restamos los valores absolutos: $17-4=13$.

    La suma es negativa porque MATH; así, MATH.

  2. Sumar $-27+69$.

    Solución:

    El valor absoluto de $69$ es mayor que el de $-27$.

    Restamos los valores absolutos: $69-27=42$.

    La suma es positiva porque MATH; así, $-27+69=42$.

Desde que aprendimos a sumar en la primaria, nos enseñaron que al sumar dos números, no importa el orden en el que los sumemos; así:


MATH

y al sumar más de dos números, lo que debemos hacer es agrupar dos de ellos, sumarlos y el resultado sumarlo al resto, por ejemplo: la suma $3+5+2$ la podemos realizar de las siguientes dos maneras:

MATH

y simplemente escribimos

MATH

También sabemos que sumar $0$ ''no hace nada'':

MATH

Propiedades de la suma de números enteros

A continuación se enlistan las propiedades de suma de los números enteros que acabamos de ejemplificar.

La suma de números enteros satisface las siguientes propiedades:

  • Propiedad de cerradura: Si $a$ y $b$ son números enteros, entonces $a+b$ es un número entero.

  • Propiedad conmutativa: Si $a$ y $b$ son números enteros, entonces $a+b=b+a$.

  • Propiedad asociativa: Si $a$, $b$ y $c$ son números enteros, entonces MATH.

  • Existencia del neutro aditivo El número $0$ satisface la igualdad $a+0=a$ para cualquier número entero $a$.

  • Existencia del opuesto, inverso aditivo o simétrico Si $a$ es un número entero cualquiera, existe un único número entero al que llamamos $-a$, que satisface la igualdad MATH.

Observaciones

  • Los números naturales MATH satisfacen todas las propiedades anteriores con excepción de la existencia del inverso aditivo, ya que, por ejemplo, el inverso aditivo de $3$ es $-3$, que no es un número natural.

  • El símbolo $\left( -a\right) $ significa el inverso aditivo de $a, $ independientemente de que $a$ sea positivo o negativo. Así por ejemplo, como MATH, entonces el inverso aditivo de $a=4$ es $-a=-4$, pero también, el inverso aditivo de $a=-4$ es $4$, es decir, MATH.

En general, si $a$ es un número entero, entonces

MATH

Ejemplos

  1. El opuesto de $5$ es $-5$.

  2. El opuesto de $-8$ es $8$.

  3. El opuesto de $0$ es $0$.

  4. Verificar geométricamente la propiedad conmutativa con $a=-7$ $b=4$

    Solución:

    Localizamos $-7$ y desde ahí nos movemos $4$ unidades a la derecha y llegamos a $-3$.

    Localizamos a $4$ y desde ahí nos movemos $7$ unidades a la izquierda y llegamos también a $-3$. Así MATH



    real7.wmf

  5. Verificar geométricamente la propiedad asociativa con $a=-8$, $b=6$ y $c=-5.$

    Solución:

    Para sumar MATH, a partir de $-8$ nos movemos $6$ unidades a la derecha, llegamos a $-2$, y si desde ahí nos movemos $5$ unidades a la izquierda, llegamos a $-7.$

    Para sumar MATH, efectuamos primero MATH, con lo que nos colocamos en $6$ y de ahí nos movemos $5$ unidades a la izquierda, con lo cual llegamos a $1$. Ahora, si a partir de $-8$ nos movemos $1$ unidad a la derecha, llegamos a $-7.$ Así que tenemos:

    MATH



    real8.wmf

    MATH

     

  6. Verificar geométricamente las propiedades del neutro y del inverso aditivo con el número $8$.

    Solución:

    Localizamos el $8$ y no nos movemos, entonces seguimos en el $8$, así que

    MATH



    real9.wmf

    $8+0=8$

    Para ver la propiedad del opuesto, localizamos el $8$ y nos movemos $8$ unidades hacia la izquierda con lo que llegamos a $0$, así:

    MATH

    real10.wmf

    MATH.

Las propiedades conmutativa y asociativa, así como las reglas anteriores nos permiten sumar más de dos números enteros.

Ejemplo

  • Sumar MATH.

    Solución:

    Aplicamos la propiedad conmutativa para poner todos los números positivos juntos y todos los números negativos juntos.

  • MATH

    Sumamos por separado los números positivos y los números negativos siguiendo las reglas para sumar números del mismo signo:


    MATH

    sumamos estos resultados parciales

    MATH

    así,

    MATH