y , dibujamos una recta numérica. Colocamos el lápiz en el y nos movemos unidades hacia la derecha, con lo que llegamos al .
Cuando a un número le sumamos un número positivo, entonces nos movemos hacia la derecha y cuando le sumamos un número negativo, entonces nos movemos hacia la izquierda.
Ejemplos
Sumar .
Solución:
Localizamos el y desde ahí nos movemos unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a Así que .
Sumar
Solución:
Localizamos a y desde ahí nos movemos unidades hacia la izquierda, con lo que llegamos a . Así que .
Sería poco práctico tener que utilizar la recta numérica para poder sumar enteros positivos y negativos; las siguientes reglas nos permiten hacerlo de manera sencilla, usando lo aprendido en la escuela primaria.
Reglas para sumar números enteros
Para sumar dos números enteros con el mismo signo:
Se suman los valores absolutos de los números, es decir, como si fueran positivos
Se determina el signo de la suma:
Si ambos son positivos, la suma es positiva.
Si ambos son negativos, la suma es negativa.
Ejemplo
Sumar .
Solución:
Sumamos valores absolutos de los números: .
La suma es negativa ya que ambos son negativos: .
Para sumar dos números enteros de signo contrario:
Se restan los valores absolutos de los números: el menor del mayor.
El signo de la suma es el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto .
Ejemplos
Sumar .
Solución:
El valor absoluto de es , que es mayor que el de
Restamos los valores absolutos: .
La suma es negativa porque ; así, .
Sumar .
Solución:
El valor absoluto de es mayor que el de .
Restamos los valores absolutos: .
La suma es positiva porque ; así, .
Desde que aprendimos a sumar en la primaria, nos enseñaron que al sumar dos números, no importa el orden en el que los sumemos; así:
y al sumar más de dos números, lo que debemos hacer es agrupar dos de ellos, sumarlos y el resultado sumarlo al resto, por ejemplo: la suma la podemos realizar de las siguientes dos maneras:
y simplemente escribimos
También sabemos que sumar ''no hace nada'':
Propiedades de la suma de números enteros
A continuación se enlistan las propiedades de suma de los números enteros que acabamos de ejemplificar.
La suma de números enteros satisface las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura: Si y son números enteros, entonces es un número entero.
Propiedad conmutativa: Si y son números enteros, entonces .
Propiedad asociativa: Si , y son números enteros, entonces .
Existencia del neutro aditivo El número satisface la igualdad para cualquier número entero .
Existencia del opuesto, inverso aditivo o simétrico Si es un número entero cualquiera, existe un único número entero al que llamamos , que satisface la igualdad .
Observaciones
Los números naturales satisfacen todas las propiedades anteriores con excepción de la existencia del inverso aditivo, ya que, por ejemplo, el inverso aditivo de es , que no es un número natural.
El símbolo significa el inverso aditivo de independientemente de que sea positivo o negativo. Así por ejemplo, como , entonces el inverso aditivo de es , pero también, el inverso aditivo de es , es decir, .
En general, si es un número entero, entonces
Ejemplos
El opuesto de es .
El opuesto de es .
El opuesto de es .
Verificar geométricamente la propiedad conmutativa con
Solución:
Localizamos y desde ahí nos movemos unidades a la derecha y llegamos a .
Localizamos a y desde ahí nos movemos unidades a la izquierda y llegamos también a . Así
Verificar geométricamente la propiedad asociativa con , y
Solución:
Para sumar , a partir de nos movemos unidades a la derecha, llegamos a , y si desde ahí nos movemos unidades a la izquierda, llegamos a
Para sumar , efectuamos primero , con lo que nos colocamos en y de ahí nos movemos unidades a la izquierda, con lo cual llegamos a . Ahora, si a partir de nos movemos unidad a la derecha, llegamos a Así que tenemos:
Solución:
Localizamos el y no nos movemos, entonces seguimos en el , así que
Para ver la propiedad del opuesto, localizamos el y nos movemos unidades hacia la izquierda con lo que llegamos a , así:
.
Las propiedades conmutativa y asociativa, así como las reglas anteriores nos permiten sumar más de dos números enteros.
Ejemplo
Sumar .
Solución:
Aplicamos la propiedad conmutativa para poner todos los números positivos juntos y todos los números negativos juntos.
Sumamos por separado los números positivos y los números negativos siguiendo las reglas para sumar números del mismo signo:
sumamos estos resultados parciales
así,