Módulo I El campo de los ...
El campo de los números reales
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Los números enteros
Factores primos y máximo común divisor

Si tenemos $12$ mosaicos cuadrados y deseamos formar un rectángulo con ellos, entonces podemos hacerlo de diversas maneras:


real17.wmf

En cambio, si tenemos $7$ mosaicos cuadrados, sólo podemos acomodarlos de una manera para obtener un rectángulo


real18.wmf

La diferencia entre $12$ y $7$ es que podemos factorizar el $12$ de varias maneras: $1\times 12$, $2\times 6$, $3\times 4$; en cambio, el $7$ únicamente podemos factorizarlo como $1\times 7$.

Factorizar un número natural significa expresarlo como producto de otros números naturales.

Un número primo es un número natural mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo. También podemos decir que un número es primo si es mayor que 1 y tiene exactamente dos factores distintos: el $1$ y él mismo.

Los primeros números primos son:

MATH

Un número mayor que uno, que no es un número primo, se llama número compuesto.

Un número que es factor de dos o más números se llama factor común de ellos.

Ejemplos

  1. Encontrar los factores primos de $240$, todos sus factores y escribirlo como producto de potencias de primos.

    Solución:

    • Factorizamos:

      • MATH

      entonces sus factores primos son $2$, $3$ y $5$.

    • Todos sus factores son:

      • MATH

    • Su factorización en producto de potencias de primos es:

      • MATH

  2. Encontrar los factores primos de $650$, todos sus factores y escribirlo como producto de potencias de primos.

    Solución:

    • Factorizamos: MATH

      entonces sus factores primos son $2$, $5$ y $13$.

    • Todos sus factores son: MATH

    • Su factorización en producto de potencias de primos es:

      • MATH

  3. Encontrar los factores comunes de $50$ y $80$.

    Solución:

    Los factores de $50$ son: $1$, $2$, $5$, $10$, $25$ y $50$.

    4. Los factores de $80$ son: $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $16$, $20$, $40$ y $80$.

    Los números que aparecen en ambas listas, es decir, los factores comunes son: $1$, $2$, $5$ y $10$.

  4. Encontrar los factores comunes de $32$ y $15$.

    Solución:

    Los factores de $32$ son: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ y $32$.

    Los factores de $15$ son: $1$, $3$, $5$ y $15$.

    El único número factor común es $1$.

Cuando el único factor común que tienen dos números es el $1$, decimos que los números son primos entre sí o primos relativos.

El Máximo Factor Común (MFC) o Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el máximo de sus factores comunes.

Para encontrar el máximo común divisor de dos números, podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos.

  1. Encontrar las lista de todos los factores de cada número, fijarse en los comunes a ambas listas y elegir el mayor de ellos. Este número es el MCD de los números dados. Si el único número que está en ambas listas es el 1, entonces el MCD de ellos es 1, es decir, los números son primos entre sí.

  2. Encontrar las descomposiciones en potencias de primos de ambos números. Considerar aquellos primos que son factores de ambos números. Para cada uno de éstos, comparar sus exponentes y elegir el menor de ellos. El producto de dichos primos elevados a los menores exponentes es el MCD de los números dados.

  3. Algoritmo de Euclides. Se divide el número mayor entre el menor. Si el residuo no es cero, se divide el divisor anterior entre el residuo obtenido y se continúa de esta manera hasta que el residuo es cero. El último residuo distinto de cero es el MCD de los números dados.

Ejemplo

  • Encontrar el MCD de $25$ y $70$ utilizando cada uno de los métodos anteriores.

    Solución:

    • Los factores de $25$ son: $25$, $5$, $1$.

      Los factores de $70$ son: $70$, $35$, $14$, $10$, $7$, $5$, $2$, $1$.

      Los factores comunes son: $5$ y $1$; y el mayor es $5$. Así, el MCD es $5$.

    • La descomposición en potencias de primos de $25$ es: $5^{2}$.

      La descomposición en potencias de primos de $70$ es: $2\times 5\times 7$.

      El único primo que aparece en ambas descomposiciones es $5$, y el exponente más bajo con que aparece es $1$, así que el MCD de $25$ y $70$ es $5$.

    • Aplicamos el algoritmo de Euclides

      • MATH

El $5$ es último residuo distinto de cero, así que el MCD de $25$ y $70$ es $5$.

 

 

 

 

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